海南专升计算机专业《高等数学》重点难点解析

【难点】—— 综合 + 逻辑型内容

1. 复合函数求导的 “多层链式”

• 易错点：多层复合时漏层，如 y=ln (sin (x²))，需从外到内拆：y=lnu，u=sinv，v=x²，导数 = 1/u・cosv・2x = (cosx²)/(sinx²)・2x = 2x cotx²，漏乘中间层会直接错。

2. 隐函数与参数方程的 “高阶导数”

• 易错点：参数方程求二阶导数时，需注意 dy/dx 是 t 的函数，二阶导数 d²y/dx² = d/dt (dy/dx) /dt/dx，而非直接对 dy/dx 求导。例如 x=t，y=t²，dy/dx=2t，d²y/dx²=2（而非 2t 的导数 2t，因为 dt/dx=1）。

3. 中值定理的 “证明思路”

• 难点：不知如何构造辅助函数（如证明 f’(ξ) + f (ξ) = 0，需构造 F (x)=e^x f (x)，再用罗尔定理）、不会结合函数的连续性 / 可导性找条件。

模块 3：一元函数积分学（分值 25%-30%，与微分学并列核心）

【重点】—— 计算 + 应用是关键

1. 不定积分的计算（基础）

• 基本积分公式（与导数公式互逆，必须背熟，如∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1)+C，∫1/x dx=ln|x|+C）。

• 常用方法：第一类换元法（凑微分，如∫sin (2x) dx = 1/2 ∫sin (2x) d (2x) = -1/2 cos (2x)+C）、第二类换元法（根号代换、三角代换，如∫√(a²-x²) dx 用 x=a sint 代换）、分部积分法（公式∫u dv = uv - ∫v du，u 的选择原则：反（反三角）> 对（对数）> 幂（幂函数）> 指（指数）> 三（三角函数））。

• 高频考点：

• 常见题型：用凑微分法积分（如∫e^(3x) dx）、用分部积分法积分（如∫x lnxdx，u=lnx，dv=x dx）。

2. 定积分的计算与性质（核心）

• 牛顿 - 莱布尼茨公式（∫(a 到 b) f (x) dx = F (b)-F (a)，F 是 f 的原函数，核心公式）。

• 定积分性质：奇偶性（奇函数在 [-a,a] 上积分 = 0，偶函数 = 2∫(0 到 a) f (x) dx，简化计算）、区间可加性（∫(a 到 b)=∫(a 到 c)+∫(c 到 b)）、估值定理（简单应用）。

• 特殊计算：反常积分（无穷区间如∫(1 到 +∞) 1/x² dx，瑕点如∫(0 到 1) 1/√x dx，判断收敛性并计算）。

• 高频考点：

• 常见题型：用牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分（如∫(0 到 π) sinx dx）、利用奇偶性简化计算（如∫(-1 到 1)(x³ + cosx) dx = 2∫(0 到 1) cosx dx）、计算简单反常积分。

3. 定积分的应用（大题高频）

• 几何应用：平面图形的面积（由 y=f (x)、y=g (x)、x=a、x=b 围成，面积 =∫(a 到 b)|f (x)-g (x)|dx）、旋转体的体积（绕 x 轴：V=π∫(a 到 b)[f (x)]²dx；绕 y 轴：V=π∫(c 到 d)[x (y)]²dy，或用壳层法）。

• 物理应用（选考）：变力做功、液体压力、平均值（∫(a 到 b) f (x) dx/(b-a)）。

• 高频考点：

• 常见题型：求两条曲线（如 y=x² 与 y=2x）围成的面积、求曲线 y=x² 绕 x 轴旋转的体积。